Die Tabelle – eine schrittweise Annäherung

Wir nehmen aus dem Situationsmodell und aus den Skizzen die Erkenntnis mit: Alle Teilstrecken ergeben zusammen die Gesamtstrecke.
Wir können nun diese Teilstrecken in einer Tabelle festhalten. Auch eine Kombination von Skizze (siehe oben) und Tabelle ist sinnvoll.
Die Tabelle muss nicht weiter kommentiert werden. Sie sieht so aus:

Zeit	1 h	2 h	1 und 1/2 h	1 und 3/4 h
rotes Auto	60 km	120 km	90 km	105 km
grünes Auto	80 km	160 km	120 km	140 km
Gesamtstrecke	140 km	280 km	210 km	245 km

Das Koordinatensystem – etwas für Tüftler

Eine reizvolle Variante für Kinder, die Herausforderungen lieben – ich denke an eine 4. Klasse – ist das Eintragen der Fahrzeugstrecken in ein Koordinatensystem.
Das geht bei dieser Aufgabe gut mit normalem Karopapier, man braucht nicht unbedingt Millimeterpapier.

Ich habe das Koordinatensystem etwas leichter zugänglich gemacht durch zwei y-Achsen für die Zeit – nicht nur eine auf der linken Seite – und durch waagrechte „Zeit-Linien“ für eine, zwei und drei Stunden. So finden sich die Kinder leichter zurecht.
Die x-Achse ist genau 24,5 cm lang, passt also wieder maßstabsgetreu zu unserer Aufgabe.
Die beiden Autos fahren von den entgegengesetzten Enden der Strecke aufeinander zu.
Um das deutlich zu machen, habe ich eine rote und eine grüne Wegstrecke unter der x-Achse passend beschriftet.

Wir sehen: Nach 1 und einer 3/4 Stunde kreuzen sich die Fahrbahnen, die zurückgelegte Strecke des roten Autos ist 105 km, die des grünen Autos 140 km.

Ich habe die beiden Strecken im Diagramm der Deutlichkeit halber mit rotem und grünem Farbstift eingezeichnet. Exakter wird es noch mit Bleistift.

In dieser Darstellungsform steckt die Erkenntnis, dass bei einer linearen Funktion verschiedene Werte einfach abgelesen werden können, ohne zu rechnen.
Aber du musst gar nicht zuviel erklären. Wenn gerade die Mathe-Cracks bei passenden Aufgaben immer wieder die Möglichkeit bekommen, ein Koordinatensystem zu zeichnen, kommen sie schon dahinter.
Du kannst auch Millimeterpapier kostengünstig zur Verfügung stellen, wenn du einfach Fotokopien von einem DINA3-Bogen machst – es gibt manchmal beim Kopieren ganz minimale Verzerrungen, die man aber ignorieren kann.

Und schließlich der Rechenweg – die Formel

Das Ausrechnen mit Formel und x-Gleichung gehört nicht mehr in die Grundschule. Einfache Gleichungen finden sich im Lehrplan der 8. Klasse.
Der Vollständigkeit halber möchte ich aber diesen Weg dennoch anführen.

Vorüberlegung:

Wir haben 3 physikalische Größen: s für die Strecke, t für die Zeit, v für die Geschwindigkeit.
Die zurückgelegte Strecke errechnet sich aus Geschwindigkeit mal Zeit: s = v mal t

Bei einer Begegnungsaufgabe brauchen – bei gleichzeitigem Start – beide Fahrzeuge gleich lange.
Die unterschiedlichen Strecken ergeben sich aus den unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
Bei unserer Aufgabe wird das schnellere grüne Auto eine größere Strecke zurücklegen als das langsamere rote.
Beide sind aber bis zum Treffpunkt gleich lange unterwegs.
s wird also bei jedem Fahrzeug anders sein, während t gleich ist.
Die gesamte Strecke beträgt 245 km. Die beiden Teilstrecken müssen diese Gesamtstrecke ergeben, wenn man sie addiert.
Wir haben nun eine bestimmte Zeit – t -, die wir noch nicht wissen und wir haben zwei Teilstrecken.
Rote Strecke + grüne Strecke = Gesamtstrecke.
Rote Strecke = 60 mal t
Grüne Strecke = 80 mal t

Wenn wir die unbekannte Größe t als Variable x in die Gleichung einsetzen, sieht es so aus:

60 mal x + 80 mal x = 245
140 mal x = 245
x = 245 : 140
x = 1,75

Nun müssen wir noch die gedankliche Rückkoppelung zu unserer Aufgabe herstellen, sonst wissen wir ja nicht, wie wir das Ergebnis interpretieren sollen.
Wir haben die Zeit in Stunden angegeben (km pro Stunde). Das heißt: Nach 1,75 h treffen die beiden Fahrzeuge aufeinander.

Da wir die Fahrzeit wissen, lässt sich auch noch leicht die jeweilige Strecke ermitteln:

80 mal 1,75 = 140, also 140 km

60 mal 1,75 = 105, also 105 km

Ihr seht, diese einfache Aufgabe hat eine Menge zu bieten und auch wir Lehrer finden genügend Denk-Anlässe. Viel Spaß beim Ausprobieren!