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Obstsalat

In der Großmarkthalle stehen drei Kisten mit Obst.
Sie stehen so hoch, dass man nicht sehen kann, was darinnen ist. Das wäre weiter nicht schlimm.
Wir wissen aber, dass auf jeder Kiste eine falsche Aufschrift steht.
Auf der ersten Kiste steht „Äpfel“, auf der zweiten „Birnen“ und auf der dritten „Äpfel und Birnen gemischt“.
Uns ist nur ein einmaliger Griff in eine einzige Kiste erlaubt. Mit dem sollen wir herausfinden, was wirklich in den drei Kisten enthalten ist.

Nun muss logisch und Schritt für Schritt überlegt werden

Was weiß ich, wenn ich in die Kiste „Äpfel“ greife und eine Birne erwische?
Es könnte sein, dass das in Wirklichkeit die Birnenkiste ist.
Denn ich weiß ja, dass garantiert auf jeder Kiste die falsche Aufschrift steht.
Es könnte aber auch in Wirklichkeit die Kiste „Äpfel und Birnen gemischt“ sein.

Wenn ich aus der Kiste „Äpfel“ einen Apfel herausfische, dann habe ich Glück. Es kann ja gar nicht die echte Apfelkiste sein (falsche Aufschrift!) .
Also bleibt nur: Das ist mit Sicherheit die gemischte Kiste.

Dann kann ich weiter überlegen:

Die Birnen können nicht in der Birnenkiste sein, wegen der garantiert falschen Aufschrift. Also müssen die Birnen in der gemischten Kiste sein und die Äpfel in der Birnenkiste.

ABER:

Ich weiß ja nicht, ob ich das Glück habe, aus der Äpfelkiste wirklich einen Apfel herauszuholen. Wenn es eine Birne ist, dann könnte diese Kiste die „echte“ Birnenkiste sein oder die gemischte Kiste.
Also ist das keine Garantie für die Lösung.

Mit einem Griff in die Birnenkiste ist es genauso: Erwische ich eine Birne, habe ich Glück. Erwische ich einen Apfel, weiß ich wieder nichts Genaues.

Dann überlegen wir, wie es wäre mit einem Griff in die dritte Kiste

Wir greifenalso in die gemischte Kiste.
Egal, ob wir einen Apfel oder eine Birne erwischen: Wir wissen, dass das die echte Apfel- oder Birnenkiste ist, denn die Aufschrift „gemischt“ ist garantiert falsch.

Erste Möglichkeit: Wir erwischen einen Apfel

Dann muss das die echte Apfelkiste sein, denn wir wissen: Die Aufschrift „gemischt“ ist garantiert falsch.
Nun müssen wir noch die beiden anderen Kisten bestimmen.

In der Birnenkiste können keine Birnen sein, also sind die in der Apfelkiste, Und die Birnenkiste muss dann die gemischte Kiste sein.

Zweite Möglichkeit: Wir erwischen eine Birne

Dann muss das die echte Birnenkiste sein.
In der Apfelkiste können keine Äpfel sein, die sind in der Birnenkiste.
Und die Kiste mit der Aufschrift „Äpfel“ ist die gemischte Kiste.

Problem gelöst – und auch Erwachsene müssen da ganz schön knobeln!

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Wie kommt Mathematik ins Schülerhirn? – Teil 2

Am Handeln führt kein Weg vorbei

Hans Aebli – ein Piagetschüler – hat bereits in den 60er Jahren den Lehrern den Weg zum erfolgreichen Rechenunterricht gewiesen.
Er begründet – z.B. in seinem Werk „Zwölf Grundformen des Lernens“ – , wie wichtig es ist, das Ziel des abstrakten Denkens schrittweise und ausgehend von konkreten Handlungen anzusteuern.
Nach Aebli werden mathematische Gesetzmäßigkeiten in diesen Schritten verinnerlicht:

  • HANDELN
  • ABBILDEN
  • SYMBOLISIEREN
  • AUTOMATISIEREN – aber erst nach geraumer Zeit und nach gründlicher Sicherung der Basis, also:
    Erst, wenn die ersten drei Schritte so gut beherrscht werden, dass aus einer Handlung eine abstrakte Rechnung gebildet werden kann oder aus einem Bild eine Handlung abgeleitet werden kann, wenn es problemlos möglich ist, für ein und denselben Sachverhalt jede der drei Ebenen zu benutzen, erst dann sollen Grundaufgaben automatisiert werden.

HANDELN – was genau ist darunter zu verstehen?

Dafür sollen Gegenstände oder bewegliche Gegenstandssymbole genommen werden.
Also z.B. Spielfiguren:

Holztiere, Playmobilfiguren, Häuser, Bäume – alles kann benutzt werden, um einfache mathematische Bezüge be-greifbar zu machen.

Oder Perlen, die als bewegliche Symbole für alle möglichen Gegenstände dienen:

Wichtig ist, dass mit den losen Perlen frei beweglich agiert werden kann: Rechenbilder können verschoben und verändert werden.

Es müssen die Handlungsangebote aber so gestaltet werden, dass sie immer wieder zum Durchdenken der entsprechenden Rechenoperationen anregen. Das erklärt , warum das bloße Abzählen an den Fingern nicht hilfreich ist.
Wenn jedoch eine einfache Aufgabe, wie z.B. 4 + 3, mit Material gelegt wird, dann entsteht über das konkrete Tun allmählich die entsprechende Vorstellung im Kopf des Kindes:

Das gilt für alles, was zum Verständnis des Zahlensystems und zu den vier Grundrechenarten gehört:
Erst durch richtiges Handeln wird ein Weg ins Gehirn gebahnt, der schlussendlich zum Zielbahnhof „verständnisbasiertes Rechnen“ führt.

So verlieren Rechengeschichten ihren Schrecken

Auch Sachaufgaben, für die meisten Schüler mathematische Schreckgespenster, verlieren ihren Schrecken, wenn die Kinder von Anfang an daran gewöhnt werden, zu den Aufgaben passende Handlungen zu finden.
Wie arm sind doch die Schüler, die in einem uninspirierten Rechenunterricht einfach mit mathematischen Regeln und Gegebenheiten konfrontiert werden, deren Sinn und Funktionsweise sie nicht einsehen können.
Ihnen bleibt nichts anderes als der Versuch, soviel wie möglich auswendig zu lernen, um irgendwie das verminte Gelände „Rechenunterricht“ möglichst unbeschadet zu durchqueren.

So viel Ratlosigkeit muss nicht sein.

Doch es geht auch anders

Bleiben wir bei einem ganz einfachen konkreten Beispiel:
5 Kinder spielen vor dem Haus. Dann müssen 2 Kinder nach Hause gehen.

Wie gehen nun mechanische „Pseudo-Rechner“ an diese kleine Aufgabe heran?
Weggehen ist ein Schlüsselwort, da haben sie sich wahrscheinlich schon gemerkt, dass das „immer was mit Minus“ ist.
Also: 5 – 2
Das Ergebnis wissen sie entweder bereits auswendig oder sie zählen es an den Fingern ab.
Die Lösung heißt: 3
Weil die Lösungszahl „stimmt“, ist die Lehrerin zufrieden und findet, das Kind habe die Aufgabe „verstanden“.
Wie würde sie staunen, wenn es dann nicht in der Lage wäre, diese Aufgabe mit Playmobil-Figuren handelnd nachzustellen!
Das ist aber sehr vielen Kindern leider nicht möglich.

Und wie kann man das besser machen?
Ganz einfach: Wir lassen uns von den Kindern zeigen, was da passiert. Dazu brauchen wir entweder Spielfiguren oder – wenn diese nicht vorhanden sind – wenigstens etwas Bewegliches: Perlen oder im Notfall auch getrocknete Bohnen.
Alles, was sich hin- und herschieben lässt, ist geeignet, um einen Ablauf zu illustrieren.

5 Kinder spielen
2 Kinder gehen
3 Kinder bleiben zurück

Auch das wäre möglich:

Statt der Playmobilfiguren werden Holzwürfel gelegt und verschoben.

Die Anschaffung von Spielfiguren und diversem Material lohnt sich

Lehrer und Eltern machen in der Einschätzung oft den gravierenden Fehler, das Handeln bei so „einfachen“ mathematischen Sachverhalten geringzuschätzen.
Was bei den Eltern verständlich ist, darf aber Fachleuten nicht passieren: Es ist nicht trivial, Kinder von Anfang an – und gerade auch bei den scheinbar „einfachen“ Aufgaben – zum Handeln anzuhalten. Das Operieren mit abstrakten Einheiten – und das sind die Zahlen nun wirklich! – ist für Kinder nicht auf Anhieb verständlich. Sie müssen an dieses abstrakte Agieren herangeführt werden.
Lehrer, die sich einen Materialfundus anschaffen wollen, tun gut daran, sich auf Ebay umzusehen. Dort kann man für wenig Geld viele attraktive „Spielsachen“ erwerben,

Das Darstellen von Rechengeschichten mit schönem Material macht den Kindern Spaß und bahnt der Mathematik den Weg ins Schülerhirn.
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Wie kommt Mathematik ins Schülerhirn ? – Teil 1

Eine Antwort auf diese zentrale Frage fällt mir sofort ein: Mit Sicherheit nicht durch das Abarbeiten der Seiten im Rechenbuch!

Auch das bloße Erklären hilft Kindern nicht weiter. Das ist, als wolle man mit einem Trichter das Kinderhirn von außen befüllen. Natürlich müssen Fragen beantwortet werden, aber das ist etwas ganz anderes als „nur“ erklären.

So geht’s gewiss nicht, denn:
„Kinder sind keine Fässer, die gefüllt , sondern Feuer, die entzündet werden wollen.“
(Francois Rabelais)

Wie sollen wir den Kindern denn dann etwas beibringen?

Falsche Frage:
WIR bringen den Kindern gar nichts bei! Die Kinder müssen SELBER die nötigen Schritte gehen. Deine Aufgabe als Lehrerin oder Elternteil ist es nur, den Kindern die GELEGENHEIT dazu zu verschaffen. Das wiederum erfordert von dir

  • die Bereitschaft, dich mit deinem Kind oder Schüler interessiert zu befassen
  • die Bereitschaft, dich ein wenig zu informieren – soviel ist das gar nicht
  • die Offenheit, Lernen etwas anders zu sehen als üblich
  • die geringe Mühe, passendes Material bereit zu stellen
  • den geringen Zeitaufwand, gelegentlich mit deinem Kind zu spielen

Wenn dir das jetzt etwas zu theoretisch vorkommt, dann schauen wir uns das doch einmal genauer an.

Was du ganz konkret tun kannst

Dich für dein Kind interessieren heißt auch zu akzeptieren, dass du manche Dinge nicht einfach „outsorcen“ kannst. Wenn du glaubst, es genüge, dein Kind in irgendeine Fördergruppe, Nachhilfe oder Was-auch-immer-Betreuung zu schicken, dann wirst du außer der Tatsache, dass das ein deutliches Loch in dein Budget reißt, nicht besonders viel merken.
Du kommst um deine eigene Einbindung in den Entwicklungsprozess deines Kindes nicht herum. Und das ist etwas ganz anderes als zu Hause einfach nur als Nachhilfelehrerin zu fungieren. Wenn du dagegen etwas hast, ist das sehr verständlich. Aber davon ist hier nicht die Rede.

Dich interessieren bedeutet natürlich auch, dass du dich informierst, was nicht heißen soll, dass du dich nun in das Studium von Fachbüchern vertiefen sollst. Alleine die Tatsache, dass du auf dieser Seite unterwegs bist, ist ja bereits der Beweis dafür, dass du das tust – nämlich dich informieren.

Lernen ist viel mehr als nur das Ausfüllen von Arbeitsblättern. Von dieser Vorstellung solltest du dich lösen, falls du sie je gehabt haben solltest.

Für eigene Aktivitäten brauchen Kinder geeignetes Material. Beispiele dafür bekommst du im Beitrag über Rechenspiele.

Und dann ist es natürlich für den Erfolg absolut entscheidend, dass du dich auch selber einbringst: zum Mitspielen und als Gesprächspartnerin.

Hier kommen einige konkrete Möglichkeiten. Wenn du dich zuerst über theoretische neurologische Hintergründe informieren möchtest, dann beginnst du am besten mit dem dritten Teil dieser Reihe.

Handeln führt zum Begreifen

Rechnen lernt man nicht durch das Ausfüllen von Arbeitsblättern und auch nicht durch bloßes Erklären. Das hatten wir schon.
Der Neurowissenschaftler Manfred Spitzer beschreibt in seinem Buch „Lernen“, wie das bei Kindern vor der Pubertät funktioniert:

Hier seht ihr Tom und Lisa. Die beiden sind lernfreudig und wollen gerne verstehen, was die Erwachsenen da mit den Zahlen so machen. Sehr schnell können sie die Zahlenreihe bis 10 aufsagen, aber das alleine heißt ja noch gar nichts. Die Mama aber hat das Buch von Spitzer gelesen und weiß, was sie machen kann. Dort steht nämlich, dass Kinder etwas nur dadurch lernen, dass sie die Gelegenheit bekommen, es oft und oft selber zu tun, bis sie merken: Da gibt es ja ein System! Das ist immer das Gleiche!
Die Mama macht nun mit den Kindern ein Würfelspiel, damit sie verstehen, was es mit dem Vorwärts und Rückwärts der Zahlenreihe auf sich hat.

Räuber und Goldschatz – das Spiel

Räuber und Goldschatz

Die Anregung zu diesem Spiel stammt von Wittmann und Müller, den Autoren des Zahlenbuches.

Und das ist die Geschichte:
Im Wald wohnen zwei Räuber: Rotbart und Schwarzbart. Jeder hat eine Höhle und zwischen ihren Höhlen gibt es einen Weg aus Pflastersteinen. Weil sie Freunde sind, besuchen sie sich oft. Eines Tages sind sie zufällig gerade beide auf dem Weg unterwegs. Da sehen sie, dass auf einem Pflasterstein (mit der Nummer 10) ein Säckchen Gold (eine gelbe Spielfigur) liegt. Schwarzbart schreit: „Das gehört mir“ Ich hab’s zuerst gesehen!“
„Kommt ja gar nicht in Frage!“, brüllt Rotbart zurück. „Das war ich! Und außerdem liegt das Gold näher bei meiner Höhle als bei deiner!“
Es kommt fast zu einer Prügelei. Aber dann fällt Schwarzbart eine Lösung ein. Zufällig hat er einen Würfel in der Tasche, denn er macht im Wirtshaus gerne Würfelspiele.
Er schlägt vor: „Wir würfeln abwechselnd. Bei meinem Wurf rückt der Schatz näher zu mir, wenn du würfelst, rückt er näher zu dir und es bekommt ihn der, der den Schatz in seine Höhle hineinwürfeln kann.“
Genauso machen es die beiden und die Sache endet friedlich.

Was lernen die Kinder daraus?

Das Aufsagen einer Zahlenreihe bedeutet nicht, dass Kinder eine Idee von der Bedeutung dieser Zahlenreihe haben. Jede Zahl hat ihren Platz und wenn man um eins weitergeht, dann steht da eine nächste Zahl, auch wieder auf ihrem festen Platz. Das Verständnis dieser Ordnung ist nicht „einfach da“.
Mit dieser Ordnung müssen die Kinder viele Erfahrungen machen, bis sie sie be-greifen.
Eine sehr einfache und wirkungsvolle Methode ist ein Würfelspiel, bei dem auf dem Spielfeld genau so viele Schritte gemacht werden, wie der Würfel anzeigt. Dieses Zählen, bei dem jede Zahl mit einem Schritt auf der Zahlenreihe verbunden ist, führt auch im Gehirn zu einer Verbindung. Dann ist die Zahlenreihe nicht einfach eine Folge von mehr oder weniger bedeutungsvollen Worten, sondern sie gewinnt Bedeutung und Sinn.
Und wenn diese Erfahrung – Zählen mit Verstand und konkreter Bedeutung – oft gemacht wird, dann bildet sich das heraus, was wir als Verinnerlichen einer mathematischen Gesetzmäßigkeit bezeichnen.
Für dieses Thema – Begreifen der ordinalen Zahlenreihe – gibt es weitere Spiele, die in einem eigenen Beitrag vorgestellt werden.
Hier ging es mir darum, dir den Sinn eines so einfachen Spieles zu vermitteln, wie es das Würfeln entlang einer Zahlenreihe ist.

Weitere Spielideen zum Würfeln auf der Zahlenreihe

  • Du kannst den Zahlenweg verkleinern, z.B. auf 11 oder 15 und dann die Spielfigur exakt in die Mitte stellen.
  • Statt eines Goldschatzes kann gewürfelt werden um eine Arbeitsleistung: Wer trägt den Müll hinaus?
  • Es kann eine andere Geschichte erzählt werden, z.B. von einer Prinzessin, die sich im Wald verirrt hat. Sie sitzt weinend auf einem Stein und der Prinz und ein Räuber würfeln darum, wer sie mitnehmen darf.
  • Es kann eine doppelte Zahlenreihe aufgezeichnet werden, zwei – oder auch mehr – Wege von 1 bis 20 nebeneinander und die Spieler starten, jeder auf seinem eigenen Weg. Reihum wird gewürfelt. Wer ist zuerst am Ziel?
Wer ist zuerst am Ziel?